origineel artikel: http://home.wanadoo.nl/rmboers/wiskunde/pentagram.html
( zonder toestemming overgenomen & niets dan de layout gewijzigd)
Een Magisch Figuur
door Rogier Boers
Inleiding
Een passer en een liniaal of een winkelhaak, dat zijn de enige twee instrumenten die, volgens Euclides, gebruikt mogen worden bij het meetkundig construeren. In dit werk zal ik mij hieraan houden. Allerlei driehoeken, rechthoeken etc. zijn vrij eenvoudig met deze instrumenten te construeren.
Omdat de regelmatige vijfpuntige ster een veelgebruikt en oud symbool is1, leek het mij dat een Euclidische constructie van het pentagram ook mogelijk moest zijn. 
De Vraagstelling
concentrische cirkels Kan een tweetal concentrische cirkels geconstrueerd worden zodat dat de raaklijnen2 aan de binnenste vanuit een willekeurig punt op de buitenste cirkel een hoek van 36º met elkaar maken? Wat is de verhouding van de twee stralen van de cirkels?

 
De hoeken
De snijpunten met de buitenste cirkel moeten weer gelden als de punten van waaruit raaklijnen aan de binnenste cirkel worden getrokken. In totaal moeten er dus vijf punten op onderling gelijke afstand op de cirkels ontstaan. Daarbij hoort dus een booghoek van . Dit is een middelpuntshoek, de gezochte bijbehorende omtrekshoek is dus .
het penatgram opgebouwd uit vliegersVliegers en driehoeken
Een pentagram kan worden gezien als een vijftal vliegers tegen elkaar aan geschoven zoals aangegeven in figuur 2. Van deze vliegers willen we weten wat de verhouding |MA| : |MS|. De genoemde lengtes zijn namelijk de straal van de grote en die van de kleine cirkel in figuur 1.
We kiezen op lijnstuk AM ount P zodanig dat |AP| = |NP|. met dit gegeven is de verhouding |MA| : |MS| gemakkelijk te bepalen. In figuur 3 id de driehoek AMN uit figuur 2 geïsoleerd weergegeven.

 
Driehoek AMN uit figuur 2 Het figuur is nu verdeeld in een aantal gelijkbenige driehoeken. Daarom geldt:

|AP| = |NP| ⇒ ∠APN = 180º − 2 ∠PAN   (1)

|NP| = |NM| ⇒ ∠SPN = ∠ SMN

∠ PAN is de omtrekshoek is bij middelpuntshoek ∠ SPN, daarom

∠SMN = 180º − ∠APN = 2 ∠PAN   (2)

We wilden de verhouding tussen |MA| en |MS| weten.

|MA| = c · |MS|   (3)

  (4)

Omdat driehoek PMN een geblijkzijdige driehoek is, geldt |MS| = |PS|  (5)  en omdat |MA| = |MS| + |PS| + |PA|  (6), weten we:
(5), (6) en (4)  

We willen een regelmatige vijfpuntige ster (pentagram) tekenen, en daarom
∠PAN = ½·36° = 18°. Dus is de waarde van de ratio is .
Een gouden ratio
Nu het duidelijk is wat de ratio is van de stralen van de twee concentrische cirkels is de hoofdvraag van het werkstuk beantwoord. Het doel is echter dat het pentagram ook daadwerkelijk geconstrueerd kan worden. We hebben dus wel een tweetal instrumenten, maar daarmee kunnen we niet direct de gezochte verhouding bepalen. Ik had gehoopt in het proces van het bepalen van de gezochte verhouding meteen op de manier van construeren te stuiten. Maar dat blijkt niet het geval te zijn.
Ik probeerde op een andere manier op de verhouding te komen. Dezelfde ratio, maar anders geformuleerd, daarop had ik nu mijn hoop gevestigd. Die hoop was ijdel. Dus ik keek na enige tijd weer terug op het blad waarop c bepaald was  . Opeens zag ik het. Twee keer de gulden snede is dat getal!
Ik hield mij voor het eerst niet aan de regel dat alleen een passer en liniaal gebruikt mochten worden en ging het Internet op. Mijn vermoeden bleek juist: er werd ook op sommige plekken een verband tussen φ en cos 0,2π = cos 36° gelegd3. Met gemengde gevoelens las ik ook meteen hoe de gulden snede te construeren. Aan de ene kant opgelucht dat mijn zoektocht voorbij was, maar aan de andere kant teleurgesteld, omdat ik nu niet meer de vreugde kon meemaken van het op eigen kracht ontdekt hebben van zo iets moois.

 

Phi, of de gulden snede
De gulden snede, aangegeven met de letter φ, is een verhouding die in de natuur, in kunst, in architectuur en op veel andere terreinen steeds opduikt. De verhouding is 1 : φ, met φ2 = 1 + φ. Dit levert .
(opmerking hierbij: φ = Φ -1 (kleine letter phi wordt gezien als 0,61803399... en de grote letter Phi als 1,61803399...)
het construeren van de gulden snede

  Er zijn verschillende manieren om de gulden snede te construeren, vrijwel alle maken gebruik van Pythagoras, omdat √5 = √(12+22). Een elegante constructie is de volgende (zie figuur 4).

  1. Teken een lijnstuk KM, noem de lengte ervan 1.
  2. Bepaal het midden van het lijnstuk, noem dit punt L.
  3. Teken een cirkel c met als middelpunt een uiteinde van het lijnstuk, punt M, door punt L.
  4. Trek vanuit het middelpunt van de cirkel een loodlijn r op het lijnstuk. Het snijpunt van de loodlijn en c is H.
  5. Teken lijnstuk KH.
  6. Punt H is nu het middelpunt van een nieuwe cirkel d, door punt K. De afstand van M tot punt J, het snijpunt van d en r, is φ.
     
Het construeren van een pentagram
Het pentagram kan geconstrueerd worden door twee concentrische cirkels te tekenen, waarvan de ratio van de stralen een vast getal is. De ratio blijkt twee keer φ, de gulden snede, te zijn. Het construeren van de gulden snede kan geschieden volgens figuur 4. De straal van de binnenste cirkel is dan de lengte van lijnstuk KM, en de straal van de buitenste cirkel is gelijk aan twee keer de afstand van M tot J.
Nu kan op de buitenste cirkel een willekeurig punt gekozen worden, van waaruit een raaklijn aan de binnenste cirkel getrokken wordt. Het nieuwe snijpunt met de grote cirkel en de eerste raaklijn is het punt waardoor een nieuwe raaklijn aan de binnenste cirkel wordt getrokken. Na nog drie gelijke stappen, is een pentagram ontstaan.
een constructie van een pentagram
Figuur 5
De volledige constructie van een pentagram
Beginnend met een cirkel met middelunt M door punt K. Met behulp van de gulden snede wordt punt J bepaald. De straal van de grote cirkel is twee keer de afstand van M tot J. Vanuit A, op de grote cirkel, worden raaklijnen aan de binnenste cirkel getrokken, waardoor het figuur ontstaat.


 
Noten
1 Symbool voor macht en magie
image from http://amail.co.uk
Het pentagram is een oud symbool. De oudste bekende pentagram komt uit het Mesopotamië en is ongeveer in 3500 voor Christus gemaakt. Het stond symbool voor de keizerlijke macht. De vijfpuntige ster wordt ook nu nog veel gebruikt als symbool voor macht, bijvoorbeeld door de VS.
Maar het pentagram is meer bekend als magisch symbool. Magiërs, zoals Merlijn, worden vaak afgebeeld met een gewaad versierd met pentagrammen, soms aangevuld met sikkelmanen en kometen. Veelal werd een beschermende kracht aan het figuur toegedicht. Zo werd de appelboom door de Kelten gezien als symbool tegen magische invloeden, vanwege het pentagram dat te zien is als een vrucht van de boom horizontaal doorgesneden wordt.
Verder heeft het figuur door de geschiedenis van verschillende culturen symbool gestaan voor het kwade, vruchtbaarheid, eeuwigheid en eenheid met de cosmos.
terug naar tekst

2 Een raaklijn aan een cirkel vanuit een punt
constructie van een raaklijn aan cirkel c uit punt P Vanuit een willekeurig punt P buiten de cirkel kan de raaklijn aan cirkel c met middelpunt M worden geconstrueerd door eerst het midden van lijnstuk PM te bepalen. Dit middelpunt (punt Q) is het middelpunt van een cirkel d door punten M en P. De stelling van Thales leert ons dat de snijpunten van c en d (hier alleen R weergegeven) als eigenschap hebben dat ∠PRM = 90°. Hiermee is de lijn door P en R een raaklijn aan c.
terug naar tekst

3 De gulden snede en cos 36°.
Zie o.a. op Mathworld- Golden ratio.
terug naar tekst

 
Geraadplaagde websites
Mathworld - http://mathworld.wolfram.com/

The Fibonacci Association - http://www.mscs.dal.ca/Fibonacci/

Fibonacci Numbers, the Golden section and the Golden string - http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

The Sacret Geometry Homepage - http://www.intent.com/sg/

FUPA - Pentagrams: Meaning and History - http://www.flindersclubs.asn.au/pagan/paganism/pentagram.html
 
Alle figuren geconstrueerd met Cabri Géomètre II (Texas Instruments) en bewerkt met Adobe Photoshop 7.0.

Later, op 7 augustus 2003, begon iemand op Sciforums.com een discussie met als titel "Drawing a square, pentagon, decagon, 20 sided regular polygon ". De starter van de discussie, met alias Godlied, had als commentaar: "Your solution is the least complicated, most practical method of all. In addition, no measuring. Only straight lines and circles. Brilliant."

Een andere deelnemer wees op een website met negen andere constructies voor het pentagram, een daarvan gaat zelfs slechts uit van het gebruik van een passer, geen lineaal! Nine Constructions for the Pentagon.